Question

(本题满分16分)A、B是函数f(x)=+的图象上的任意两点，且=()，已知点M的横坐标为.

    (Ⅰ)求证：M点的纵坐标为定值；

    (Ⅱ)若S_n=f()+f()+…+f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；

    (Ⅲ)已知数列{a_n}的通项公式为. T_n为其前n项的和，若T_n<(S_n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数的取值范围.

Answer

(Ⅰ)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(,ym)，由得

即x1+x2=1.

即M点的纵坐标为. …………………………………………………4分

(Ⅱ)当n≥2时，∈(0,1)，又=…=x1+x2，

   ∴=…=f(x1)+f(x2)=y1+y2=1.

   …，又…，

∴2Sn=n-1，则(n≥2，n∈N+). ……………………………10分

(Ⅲ)由已知T1=a1=，n≥2时，，

∴Tn=a1+a2+…+an=…=.

当n∈N+时，Tn<(Sn+1+1)，即>，n∈N+恒成立，则>.

而(n=2时“＝”成立)，

∴，∴实数的取值范围为(,+∞). ……………………16分

【解析】略