Question

（本小题满分16分）已知函数.

（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，其中，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

Answer

【解析】
（Ⅰ）因为， x >0，则，

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以  解得.

（Ⅱ）不等式即为 记

所以

令，则，      ，    

在上单调递增，   ，从而，

 故在上也单调递增，   所以，所以 .

（3）由（2）知：恒成立，即，

令，则，             

所以 ,

，

，

               …   … 

，                              

叠加得：

=n-2(1-)＞n-2+＞n-2 .         

则

【解析】略