Question

（本小题满分16分）已知数列，满足，其中.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，且.

（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；

（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.

Answer

（Ⅰ）当时，有

.                             

又因为也满足上式，所以数列的通项为.

（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，   

所以

，

所以数列为等差数列.                                    ………………7分

（ⅱ）设，（其中为常数且），所以

所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分

设，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；            ………………10分

当时，

①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；

综上：设集合，

当时，数列中必有某数重复出现无数次.

当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.

【解析】略