Question

已知多项式.（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n，是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，是整数.

①当n=1时，,结论成立.

②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，

=

根据假设是整数，而显然是整数.

∴是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.

由①、②可知对对一切正整数n，是整数. ……………………………………………7分

（Ⅱ）当n=0时，是整数.……………………………………………………8分

(Ⅲ)当n为负整数时，令n= -m，则m是正整数，由（1）是整数，

所以

=是整数.

综上，对一切整数n，一定是整数.………………………………………10分

【解析】略