Question

若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．

（1）已知是上的正函数，求的等域区间；

（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，

所以当时， 即   ……………………………3分

解得，

故函数的“等域区间”为；……………………………………………5分

（2）因为函数是上的减函数，

所以当时，即………………………………7分

两式相减得，即， ……………………………………9分

代入得，

由，且

得， …………………………………………11分

故关于的方程在区间内有实数解，……………………13分

记，

则

解得．

【解析】略