Question

设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．

（1）若，求证：数列{an}是等比数列；

（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列

Answer

（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数）．

因为恒成立，所以，即．

而且当时，，   ①

  ， ②

①－②得 ．

若an=0，则，…，a1=0，与已知矛盾，所以．

故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．  ……………………………………4分

【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．

(ii) 若k=1，设（b，c为常数），

当时，，           ③

  ，     ④

③－④得 ．……………………………………………7分

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），

而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1，

故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1，此时．…9分

(iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数），

当时，，           ⑤

， ⑥

⑤－⑥得 ， ……………………………12分

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有

，且d=2a，

考虑到a1=1，所以．

故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为，

此时（a为非零常数）．……………………………14分

(iv) 当时，若数列{an}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，

故数列{an}不能成等差数列．

综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

【解析】略