Question

（本小题满分16分）

已知函数（其中为自然对数的底数），．

（1）若，，求在上的最大值；

（2）若时方程在上恰有两个相异实根，求的取值范围；

（3）若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．

[注意：]

Answer

【解析】
（1）时， ，    ………1分

①当时，，在上为增函数，则此时；………2分

②当时，，在上为增函数，

故在上为增函数，此时；                       ………3分

③当时，，在上为增函数，在上为减函数，

若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，

此时，

若，即时，在上为增函数，则此时；

综上所述：                          ………………6分

（2），，

故在上单调递减；在上单调递增；           ………………8分

故在上恰有两个相异实根

                       ………………11分

（3）由题设：（），       ………………12分

因为故在上单调递减；在上单调递增；

故（），       ………………13分

设，则，

故在上单调递增；在上单调递减；

而，且

，

故存在使，且时，时，

又，，

故时使的图象恒在图象的上方的最大正整数；    ………16分

【解析】略