Question

已知常数数列的前项和为，且

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；

（3）若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）∵∴，，    ┄┄┄2分

     ∴

     化简得：（常数），

     ∴数列是以1为首项，公差为的等差数列；               ┄┄┄4分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，

     ∴，∴

     ①当是奇数时，∵，∴，

   令，∴

   ∵

   ∴，且，∴；  ┄7分

     ②当是偶数时，∵，∴，

   令，∴

   ∵

   ∴，且，∴；

         综上可得：实数的取值范围是．                           ┄10分

   （Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，

     设对任意正整数k，都存在正整数，使，

 ∴，∴          ┄┄┄12分

 令，则（或）

 ∴（或）                        ┄16分

【解析】略