Question

(本小题满分14分)如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3(百米)，底AB的长为4(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂.

(1) 若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；

(2) 求的最小值．

Answer

【解析】
(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.

∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．(2分)

若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.

∴ AF＝＜4.(4分)

在△ABC中，cosA＝.(5分)

在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，

∴ EF＝.(6分)     即小路一端E为AC的中点时小路的长度为 (百米)．(7分)

(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，

答：最小值是.(14分)

【解析】略