已知
，
为虚数单位，且
，则
▲ .
（本题满分10分）已知
。
（1）若
，求
的展开式中
的系数；
（2）证明：
。
（本题满分10分）抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币，它们正面向上的概率如下表所示
；
|
纪念币 |
A |
B |
C |
|
概率 |
|
a |
a |
将这三枚纪念币同时抛掷一次，设
表示出现正面向上的纪念币的个数。
（1）求的分布列及数学期望；
（2）在概率
中，若
的值最大，求a的最大值。
（本题满分10分）曲线
的参数方程为
（其中
为参数），M是曲线上的动点，且M是线段OP的中点，P点的轨迹为曲线
，直线l的方程为
，直线l与曲线交于A，B两点。
（1）求曲线的普通方程；
（2）求线段AB的长。
（本题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值
及对应的一个特征向量
，并且矩阵M对应的变换将点（-1,2）变换成（-2,4）。
（1）求矩阵M及其矩阵M的另一个特征值；
（2）求直线
在矩阵M的作用下的直线
的方程。
（本题满分16分）
对于数列
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当
时是周期为
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列.
（1）设数列
满足
（），
（
不同时为0），求证：数列是周期为
的周期数列，并求数列的前2012项的和
；
（2）设数列的前项和为
，且
.
①若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若
，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足
（），
，
，数列的前项和为，试问是否存在实数
，使对任意的都有
成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
