Question

已知（m为常数，m>0且m≠1）．

      设（n∈^）是首项为m²，公比为m的等比数列．

    （1）求证：数列是等差数列；

    （2）若，且数列的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n；

    （3）若，问是否存在m，使得数列中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

.【解析】
（1）由题意f（an）＝，即．

∴an＝n＋1，（2分）       ∴an＋1－an＝1，

∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）

（2）由题意＝（n＋1）·mn+1，

当m＝2时，bn＝（n＋1）·2n＋1

∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n＋1）·2n＋1 ①（6分）

①式两端同乘以2，得

2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋（n＋1）·2n＋2 ②

②－①并整理，得

Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）·2n＋2

＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）·2n＋2

＝－22－＋（n＋1）·2n＋2

＝－22＋22（1－2n）＋（n＋1）·2n＋2＝2n＋2·n．（9分）

（3）由题意＝mn+1·lgmn+1＝（n＋1）·mn+1·lgm，

要使cn1时，lgm>0，所以n＋1m对一切n∈N*成立，

因为＝1－的最小值为，所以01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项．

（14分）

【解析】略