Question

（13分）如图，在斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心是G点，E是线段BC₁上的一点，且BEBC₁，

（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；

（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值。

Answer

【解析】
（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°角，

∴∠AA1B=60°，又A1A=AB=2，取AB的中点O，则A1O底面ABC，

以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图：

则A（0，-1，0）、B（0，1，0）、C（，0，0）

A1（0，0，）、B1（0，2，）、C1（，1，）

∵G为ΔABC的重心，  ∴

（2）设平面B1GE的法向量为

由，又底面ABC的一个法向量为，

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角大小为，

则。

【解析】略