Question

已知，(且)．

（1）过作曲线的切线，求切线方程；

（2）设在定义域上为减函数，且其导函数存在零点，求实数的值．

Answer

(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，

设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x，

∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－，

∴切线方程为y－2x0＋＝(2－x0)(x－x0)，即y＝(2－x0)x＋，   ……3分

∵(0,2)在切线上，代入可得x0＝±2，……………………………5分

∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2. …………………………………7分

(2)h(x)＝2x－x2－logax在(0，＋∞)上递减，

∴h′(x)＝2－x－≤0在(0，＋∞)上恒成立，

∵x>0，∴≥2x－x2在(0，＋∞)上恒成立．

又2x－x2∈(－∞，1]，∴≥1，∴0