Question

已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.

 (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM·k_BN＝－，求证：直线l过原点．

Answer

【解析】
(1)由题意得·＝－(x≠±2)，

即x2＋4y2－4＝0.

所以点P的轨迹C的方程为

＋y2＝1(x≠±2)．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立方程，

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.

又kBM·kBN＝－，即·＝－，

即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋4y1y2＝0.

代入并整理得m(m＋2k)＝0，即m＝0或m＝－2k，

当m＝0时，直线l恒过原点；

当m＝－2k时，直线l恒过点(2,0)，但不符合题意．

所以直线l恒过原点．

【解析】略