Question

（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面

，

点，分别在棱上，且             

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer

【解析】
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.    又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC. …………

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，  

∴与平面所成的角的余弦值为.…………

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.      

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角. …………

【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，

        设，由已知可得   .

   （Ⅰ）∵，      ∴，∴BC⊥AP.

又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. …………

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，∴.

∴与平面所成的角的余弦值为.………    （Ⅲ）同解法1.

【解析】略