Question

（本小题满分12分）已知数列{a_n}，a₁＝1，a_n＝λa_n－1＋λ－2（n≥2）．

（1）当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；

（2）若λ＝3，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

解 （1）a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2，

a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2，

∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2（2λ－2），

得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝．

当λ＝时，a2＝2×－2＝1，a1＝a2，故λ＝不合题意舍去；

当λ＝1时，代入an＝λan－1＋λ－2可得an－an－1＝－1，

∴数列{an}构成首项为a1＝1，d＝－1的等差数列，

∴an＝2－n．

（2）当λ＝3时，an＝3an－1＋1，

即an＋＝3（an－1＋），令bn =an＋

即bn＝3bn－1，

∴数列{bn}构成首项为b1＝，公比为3的等比数列，

∴bn＝×3n－1＝，

∴an=-

【解析】略