Question

（本题满分13分）已知函数，

（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（III）当时，证明：

Answer

【解析】
（Ⅰ）在上恒成立，

       令 ，有  得   得 .

   （Ⅱ）假设存在实数，使（）有最小值3，

①当时，在上单调递减，，（舍去），

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件. 

③当时，在上单调递减，，（舍去），

综上，存在实数，使得当时有最小值3. 

（III）令，由（2）知，.令，，

当时，，在上单调递增 

∴     即

【解析】略