Question

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

Answer

【解析】
⑴设P(x0，y0)，x0±a，则G(，) ∵IG∥F1F2  ∴Iy=  |F1F2|=2c

∴S△F1PF2=·|F1F2|·|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|) · || ……………………（4分）

∴2c·3=2a+2c  ∴e== 又∵b=  ∴b=  ∴a=2∴椭圆C的方程为+=1(6分)

⑵设A(x1, y1)、B(x2, y2)    ，消去y  (3+4k2)x2+8kmx+4m2－12=0

∴△=(8km)2－4(3+4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2+3又∵x1+x2=－，则y1+y2=

∴线段AB的中点P的坐标为(－, )                     …………(8分)   

又线段AB的垂直平分线l′的方程为y= (x－)                      …………(9分)

点P在直线l′上，=－ (－－)                    …………(10分)

∴4k2+6km+3=0  ∴m=－(4k2+3)  ∴＜4k2+3，  ∴k2＞  

∴k＞或k＞－  ∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，+∞)   …………(13分)

【解析】略