Question

（本小题满分14分）

已知函数（）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

Answer

【解析】
(Ⅰ)易知函数的定义域是，. …………1分 

①  当时，即时, 令,解得或;

  令,解得.……………2分

    所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

    ②当时，即时, 显然，函数在上单调递增；……………3分

    ③当时，即时, 令,解得或;

      令,解得.……………4分

    所以，函数在和上单调递增,在上单调递减

综上所述，

⑴当时,函数在和上单调递增,在上单调递减；

⑵当时,函数在上单调递增；

⑶当时,函数在和上单调递增,在上单调递减. ……………5分

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

   设,是曲线上的不同两点，且，

   则

       ……………7分

曲线在点处的切线斜率

，……………8分

依题意得：.

化简可得： ，即=.  ……………10分

   设 ()，上式化为：,   即.  ………………12分

  令,.

   因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

   所以在内不存在,使得成立.

 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”. ……………14分

【解析】略