Question

已知，函数，（其中为自然对数的底数）．

（1）判断函数在上的单调性；

（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）若实数满足，求证：

Answer

（1）∵，，∴． ……（1分）

①若，则，在上单调递增；                  ……（2分）

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，            ……（4分）

③若，则，函数在区间上单调递减.   ……（5分）

（2）【解析】
∵，，

， ……（6分）

由（1）易知，当时，在上的最小值：，

即时，．                                    …（7分）

又，∴．…8分

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．故不存在.                  ……（9分）

（3）证明：

，由（2）知，令得.……（14分）

【解析】略