Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，E是SC的中点。

（I）求证：SA//平面BDE；

（II）求证：；

（III）若SD=2，求二面角E—BD—C的余弦值。

Answer

【解析】

（Ⅰ）连结AC交BD于F，连结EF，

由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，

又E为SC的中点，所以SA∥EF，

∵SAË平面BDE，EFÌ平面BDE，

∴SA∥平面BDE．…………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30°，及余弦定理得

取BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝1，

∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，

∴AD⊥SD，

∴AD⊥平面SBD，又SBÌ平面SBD，

∴AD⊥SB．…………………………………………………………………………8分

（Ⅲ）取CD的中点G，连结EG，则EG⊥面BCD，且EG＝1．

设三棱锥C—BDE的高为h，

在△BDE中，BD＝1，DE＝BE＝SC＝，EF＝．

在Rt△BCD中，BD＝1，BC＝，∠CBD＝90°．

∵VC—BDE＝EE—BCD，

∴··BD·EF·h＝··BD·BC·EG，

∴h＝＝．…………………………………………………………12分

【解析】略