Question

（本小题满分12分）已知函数

（I）求的单调区间；

（II）若对于任意的，都有求a的取值范围。

Answer

【解析】

（Ⅰ）f¢(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………………………2分

令f¢(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．

当x变化时，f¢ (x)、f(x)的变化如下：

所以

f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，

单调递减区间是(a－2，a)．………………………………………………………7分

（Ⅱ）当x∈(－∞，1]时，

由（Ⅰ）知，f(x)在(－∞，a－2)单调递增，在(a－2，a)单调递减，在(a，1)单调递增，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)．

当a∈[－1，3]，f(a－2)＝4ea－2≤4e；f(1)＝(a－1)2e≤4e，

所以f(x)≤4e．……………………………………………………………………12分

【解析】略