Question

（本题满分12分） 设函数（），．

(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；

(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1），值域为 …………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，……4分

故解之得． …6分

解法二：恰有三个整数解，故，即，

，

所以，又因为， ……4分

所以，解之得． ……6分

（3）设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点． 8分

设与存在 “分界线”，方程为，

即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以成立，

因此． …8分

下面证明恒成立．

 设，则．

 所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．

【解析】略