Question

如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若平面，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在一点， 使得平面。若存在，求的值；若不存在，试说明理由。

Answer

解法一：

（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。   于是    

      故           从而  

(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

（Ⅲ）在棱上存在一点使.由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，

且  

设        则     

而           即当时，       

而不在平面内，故

解法二：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(Ⅱ)设正方形边长，则。

又，所以,

连，由（Ⅰ）知,所以,     

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

【解析】略