Question

设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记｡

(I)求数列的通项公式;

(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;

(III)设数列的前项和为｡已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值｡

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，

又

数列成等比数列，其首项，公比是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=

又

当

当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

>

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设

则<

当n为奇数时，设

则

<

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4

【解析】略