Question

已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

(Ⅰ)求证：平面；    

(Ⅱ)求到平面的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小。

Answer

解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,

∴平面.…………………4分

(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,

又为中点,知∴.取中点,则

平面,从而面面,…………6分

过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分

(Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分

在中,,故二面角的大小为.

…………………12分

   解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,

又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分

则,,,,,,

,,由,知,

又,从而平面.…………………4分

(Ⅱ)由,得.设平面的法向量

为,,,,

设,则.…………6分

∴点到平面的距离.…………………8分

(Ⅲ)设面的法向量为,,,

∴.…………10分

设,则,故,根据法向量的方向

可知二面角的大小为.…………………12分

【解析】略