Question

（本小题满分12分）

        设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数”

   （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意成立。试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

（III）对于M中的函数 的实数根，求证：对于定义域中任意的当且

Answer

（1）因为

所以

又因为当，所以方程有实数根0，

所以函数是集合M中的元素。                   …………4分

   （2）假设方程存在两个实数根，

则             …………5分

不妨设，根据题意存在数，

使得等式成立，                    …………7分

因为

与已知只有一个实数根；

                                        …………9分

   （3）不妨设为增函数，

所以

又因为为减函数，               …………10分

所以              …………11分

所以，

即

所以

                                        …………12分

【解析】略