Question

某市的老城区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，老城区改造规划建筑用地区域可近似为半径是R的圆面．该圆的内接四边形ABCD是原老城区建筑用地，测量可知边界AB＝AD＝4万米，BC＝6万米，CD＝2万米．

（I）请计算原老城区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；

（II）因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB、BC可以调整．为了提高老城区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P，使得老城区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出其最大值．

Answer

【解析】
(1)因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接AC，由余弦定理：

AC2＝42＋62－2×4×6cos∠ABC

＝42＋22－2×2×4cos∠ADC.

∴cos∠ABC＝.∵∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝60°.

则S四边形ABCD＝×4×6×sin60°＋×2×4×sin120°＝8 (万平方米)．

在△ABC中，由余弦定理：

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC

＝16＋36－2×4×6×＝28，故AC＝2.

由正弦定理得，2R＝＝，∴R＝ (万米)．......6分

(2)S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，    S△ADC＝AD·CD·sin120°＝2.

设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xy·sin60°＝xy.

又由余弦定理：AC2＝x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝28.

∴x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy.     ∴xy≤28，当且仅当x＝y时取等号．

∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9，

即当x＝y时面积最大，其最大面积为9万平方米

【解析】略