Question

（本小题满分12分） 设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0<f（x）<1。

（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，有f（x）>1；

（2）判断f（x）在R上的单调性；

    ⑶设集合A＝{（x,y）|f（x²）f（y²）>f（1）}，集合B＝{（x,y）|f（ax－y+2）=1,a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范围。

Answer

【解析】
⑴f（m+n）=f（m）f（n），令m=1,n=0，则f（1）=f（1）f（0），且由x>0时，00，∴f（0）=f（x）f（－x），∴f（x）＝>1。……………4分

    ⑵设x10，∴0f（1），∴f（x2+y2）>f（1），由f（x）单调性知x2+y2<1，又f（ax－y+2）=1=f（0），

    ∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a2+1≤4，从而。……12分

【解析】略