Question

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E.

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若AC=AP,求的值

Answer

(1)∵ PA是切线，AB是弦，∴ ∠BAP=∠C，…2分

又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,           …….4分∴ ∠ADE=∠AED.            ……5分

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA,∴ △APC∽△BPA, ∴,  7分

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC是圆O的直径，∴ ∠BAC=90°∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°.

在Rt△ABC中，=, ∴ =.  

【解析】略