Question

．（本题满分12分）

如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DN            C．…………………2分

同理MA//平面DNC，又MAMB=M, 且MA,MB平面MA                  B．

． （6分）

（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN,                …………………8分

DN平面MBCN，从而,

为二面角D-BC-N的平面角．       =   …………………10分               

由MB=4，BC=2，知60º，

．  sin60º =        …………………11分            

由条件知：    …………………12分             

解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，

设，则．

（I）．

，

∵，

∴与平面共面，又，．                 （6分）

（II）设平面DBC的法向量，

则，令，则， 

∴．                                                      （8分）

又平面NBC的法向量．                                           （9分）

              …………………11分

即：    又即    …………………12分

【解析】略