Question

（本小题满分14分）

设函数

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求的单调区间；

（3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。

Answer

【解析】
（1）函数的定义域为  ……………………………………1分

当时，，∴ ………………2分

由得 随变化如下表：

—

0

+

↘

极小值

↙

故，，没有极大值． …………………………4分

（2）由题意，

令得， ………………………………………………6分

若，由得；由得 …………7分

若，①当时，，或，；，

②当时，

③当时，或,;，

综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为

 ……………………………………………………………………10分

（3）当时，

∵，∴  ∴，

  ………………………………………………12分

由题意，恒成立。

令，且在上单调递增，

，因此，而是正整数，故，

所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴………………………………………………14分

【解析】略