Question

．(本小题满分12分)

　　设函数f(x)=lnx－p(x－1)，p∈R.

(Ⅰ)当p=1时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)+p(2x²―x―1)，(x≥1)，求证：当p≤－时，有g(x)≤0成立.

Answer

（Ⅱ）由函数g(x)=xf(x)+p(2x2―x―1)=xlnx+p(x2－1),

      得g′(x)＝lnx＋1＋2px.                        ……7分

由（Ⅰ）知，当p=1时，f(x)≤f(1)=0,

      即不等式lnx≤x－1成立.                   ……9分

所以p≤当时，g′(x)＝lnx+1+2px≤（x－1）+1+2px＝(1+2p)x≤0,

即g(x)在［1，＋∞）上单调递减，

从而g(x)≤g(1)=0满足题意.                          ……12分

【解析】略