Question

(本题满分15分) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

(1)求抛物线的方程;

(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.

若直线的斜率为1,求的长;

是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.

Answer

解:(1)由题意,可设抛物线方程为.          …………1分

由,得.                                …………2分

抛物线的焦点为,.                              …………3分

抛物线D的方程为.                                 …………4分

(2)设,.                                    …………5分

直线的方程为：,               …………6分

联立,整理得:   …………7分

=.…………9分

 (ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得:           …………10分

                               …………11分

即=

=

==                     …………13分

当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.

                                                    …………14分

因此存在直线满足题意                        …………15分

【解析】略