Question

本题满分14分) 设函数在上的导函数为，在上的导函数为．若在上，有恒成立，则称函数在

上为“凸函数”．已知．

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；

(Ⅱ) 若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

Answer

【解析】
由函数得， （3分）

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

，

即．                                      （7分）

(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．                                                     （8分）

当时，显然成立                       （9分）

当，∵的最小值是．∴．

从而解得                                         （11分）

当，∵的最大值是，∴，

从而解得．  

综上可得，从而              （14分）

【解析】略