Question

（本题满分10分）如图，多面体ABCDS中面ABCD为矩形， 

   （1）求多面体ABCDS的体积；

   （2）求AD与SB所成角的余弦值；

   （3）求二面角A—SB—D的余弦值．

Answer

【解析】
（I）多面体ABCDS的体积即四棱锥S—ABCD的体积。

    所以…………3分

   （II）由题可知DA、DA、DC两两互相垂直，

    如图建立空间直角坐标系

    AD与SB所成的角的余弦为…………6分

   （III）设面SBD的一个法向量为

    又

    设面SAB的一个法向量为

    ，

    所以所求的二面角的余弦为  …………10分

    解法二：（I）同解法一

   （II）矩形ABCD，

=

    AD//BC，即BC=a，

    要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角。…………3分

    在中，由（1）知面ABCD。

    CD是CS在面ABCD内的射影，且

BC与SB所成的角的余弦为

    从而SB与AD的成的角的余弦为…………6分

   （III）

    面ABCD。

    BD为面SDB与面ABCD的交线。

    SDB

    于F，连接EF

    从而得：

    为二面角A—SB—D的平面角

    在矩形ABCD中，对角线

    中，

    由（2）知在

    而

    为等腰直角三角形且

            ，

    所以所求的二面角的余弦为…………10分

【解析】略