Question

（本题满分14分）如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于点 M，EA⊥平面ABC，FC//EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．

（I）证明：EM⊥BF；

（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值．

Answer

【解析】

（1）平面，平面， ．

又，，

平面 

而平面

．

是圆的直径，．

又，，

，，．

平面，，，

平面．

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．

，     平面．

而平面，

．  ………………………………………………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     ……………………10分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ………………………14

【解析】略