Question

（本小题满分15分） 已知抛物线C的顶点在原点， 焦点为F(0，1).

（1） 求抛物线C的方程；

（2）在抛物线C上是否存在点P， 使得过点P

的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF， 且

PQ与C在点P处的切线垂直.若存在，求出

点P的坐标； 若不存在，请说明理由.

Answer

(1)  解: 设抛物线C的方程是x2 = ay, 高则,        即a = 4 .

故所求抛物线C的方程为x2 = 4y .             …………………(5分)

(2) 解:设P(x1, y1), Q(x2, y2) , 则抛物线C在点P处的切线方程是： ,

直线PQ的方程是：  .

将上式代入抛物线C的方程, 得：,

故 x1+x2=, x1x2=－8－4y1,所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

而＝(x1, y1－1), ＝(x2, y2－1),×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1＝－2y1 －－7＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)＝(y1＋1)2－＝＝0,

故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) .  经检验, 符合题意. 

所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). ………………(15分)

【解析】略