Question

(本题满分15分)

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点(，)．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer

(Ⅰ) 【解析】
由题意可设椭圆方程为  (a＞b＞0)，

则    故

所以，椭圆方程为 ．     ……………………………4分

(Ⅱ) 【解析】
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由 消去y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且，．          ……………………7分

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以 ＝＝k2，……………………9分

即 ＋m2＝0，又m≠0，

所以 k2＝，即 k＝．        …………………11分

由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得

0＜m2＜2 且 m2≠1．…………………12分

设d为点O到直线l的距离，

则 S△OPQ＝d | PQ |＝| x1－x2 | | m |＝，…………………13分

所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)．     ……………………………15分

【解析】略