Question

(本题满分15分)

已知实数满足且，设函数

(Ⅰ) 当时，求f (x)的极小值；

(Ⅱ) 若函数 ()的极小值点与f (x)的极小值点相同．

求证：g(x)的极大值小于等于．

Answer

  (Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

        列表如下：

x

(－，1)

1

(1，2)

2

(2，＋)

f ′(x)

＋

0

－

0

＋

f (x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，f (x)极小值为f (2)＝．           …………………………………5分

(Ⅱ) 【解析】
f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．

g ′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋＝．

令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，

  (1) 当 1＜a≤2时，

f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a，

所以p(a)＝0，

即3a2＋(2b＋3)a－1＝0，

即b＝，

此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b

＝－3＋ ＝．

由于1＜a≤2，

故 ≤2－－＝．………………………………10分

(2) 当0＜a＜1时，

f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，

由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，

所以0＜x1＜1，

即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，

故b＞－．

此时g(x)的极大值点x＝x1，

有 g(x1)＝x13＋bx12－(2b＋4)x1＋lnx1

＜1＋bx12－(2b＋4)x1

＝(x12－2x1)b－4x1＋1   (x12－2x1＜0)

＜－(x12－2x1)－4x1＋1

＝－x12＋x1＋1

＝－(x1－)2＋1＋   (0＜x1＜1)

≤

＜．

综上所述，g(x)的极大值小于等于．     ……………………15分

【解析】略