Question

抛物线y²＝2px（p＞0）上纵坐标为－p的点M到焦点的距离为2．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）如图，A，B，C为抛物线上三点，且线段MA，MB，MC 与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若△AMB的面积是△BMC面积的，求直线MB的方程．

Answer

（本题15分）:（Ⅰ）【解析】
设， 则，，

由抛物线定义，得所以．              ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

设，， （均大于零）  ……6分

，， 与轴交点的横坐标依次为．

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．……7分

（2）与轴不垂直时，，

设直线的方程为，即，

令得2，同理2，2，                ……10分

因为依次组成公差为1的等差数列，

所以组成公差为2的等差数列．     ……12分

设点到直线的距离为，点到直线的距离为，

因为，所以=2，

所以      ……14分

得，即，所以，

所以直线的方程为：                     ……15分

解法二：（Ⅰ）同上．      （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．

由题意，设与轴交点的横坐标依次为

设， （均大于零）．                   ……6分

（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． ……7分

（2）与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

同理直线的方程为，

由 得

则 所以，                         ……12分

同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，     因为，所以=2，

所以  ……14分

化简得，即，

所以直线的方程为：                     ……15分

【解析】略