Question

（本题满分14分） 如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))

        

（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（II）求二面角E-DF-C的余弦值；

（III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.

Answer

【解析】
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………………………  9分

证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得

∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线

上，过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE  

∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。………………… 12分

【法二】（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0）， C（0，.………………………  5分

取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，

则 得，…………6分

，……………………………………… 7分

所以二面角E—DF—C的余弦值为；…………………………… 8分

【解】（Ⅲ）设，

又， ………………………………………  9分

 ………………………11分

把，可知点P在BC的延长线上

                      所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE. ……………………………………………… 12分

【解析】略