Question

（本小题满分15分）

  已知椭圆： （）的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程； 

（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.

    （i）求点的轨迹的方程；

    （ii）若为点的轨迹的过点的两条相互垂直的弦，求四边形面积的最小值．

Answer

【解析】

（1）∵，∴＝＝＝，∴.            （2分）

      ∵直线与圆相切，∴，，∴.

      ∴椭圆的方程是.                                （2分）

（2）（i）∵

         ∴动点到定直线的距离等于它到定点的距离，

         ∴动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线．

         ∴点的轨迹的方程为：.                                 （4分）

    （ii）由题意可知：直线的斜率存在且不为零，           （1分）

         令：，

         则：

         由韦达定理知：

         由抛物线定义知：

                                    （2分）

         而：

         同样可得：                        （2分）

         则：

                   （当且仅当时取“”号）

         所以四边形面积的最小值是：8                             （2分）

【解析】略