Question

（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，

且，.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求证：∥平面；

（3）求直线和平面所成的角的正弦值.

Answer

【解析】
∵ ⊥底面,底面,底面

∴ ⊥, ⊥                           ………………… 1分

∵ ,、是平面内的两条相交直线

∴ 侧棱底面                            ………………… 3分

（1）         在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

    ∴       ………………… 5分

      （2） 取的中点，连接、。

           ∵ 点是的中点   ∴∥且  ……………… 6分

∵ 底面是直角梯形，垂直于和，，

           ∴ ∥且                        ……………… 7分

           ∴ ∥且

∴ 四边形是平行四边形

∴ ∥                                    ……………… 8分

∵，

∴ ∥平面                                ……………… 9分

      （3）∵ 侧棱底面，底面

∴

∵垂直于，、是平面内的两条相交直线

∴ ，垂足是点                    ……………… 11分

∴ 是在平面内的射影，

∴ 是直线和平面所成的角            ……………… 12分

∵ 在中，，     ∴

∴

∴  直线和平面所成的角的正弦值是     ……………… 14分

【解析】略