Question

（本题满分15分）已知圆N：和抛物线C：，圆的切线与抛物线C交于不同的两点A，B，

（1）当直线的斜率为1时，求线段AB的长；

（2）设点M和点N关于直线对称，问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
因为圆N：，

所以圆心N为（-2,0），半径，              ………………… 1分

       设，，

      （1）当直线的斜率为1时，设的方程为即

          因为直线是圆N的切线，所以，解得或（舍）

         此时直线的方程为，                      ………………… 3分

由 消去得，

所以，，，                 ………………… 4分

所以弦长               …………………6分

（2）①设直线的方程为即（）

          因为直线是圆N的切线，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即且，            

，.                      ………………… 9分

因为点M和点N关于直线对称，所以点M为

所以，，        

因为，所以+    …… 10分

将A，B在直线上代入化简得

     ……… 11分

代入，得

化简得      ………②           ………… 12分

①+②得

即，解得或 

       当时，代入①解得，满足条件且，

             此时直线的方程为；

       当时，代入①整理得 ，无解.    …………… 13分

②   当直线的斜率不存在时，

因为直线是圆N的切线，所以的方程为，

则得，，

即

       由①得：

                        =

  当直线的斜率不存在时不成立.               ……………… 14分

综上所述，存在满足条件的直线，其方程为     ……………… 15分

另【解析】

（2）设直线的方程为即（必存在）

          因为直线是圆N的切线，所以，

得    ………①           ……………… 8分

由 消去得 ，

所以即               ………………… 9分

，.                  ………………… 10分

因为点M和点N关于直线对称，所以点M为

所以，，        

因为，所以+    …… 11分

将A，B在直线上代入化简得

     ……… 12分

代入，得

化简得      ………②          ………… 13分

①+②得

即，解得或 …… 14分

       当时，代入①解得，满足条件；

       当时，代入①整理得 ，无解.

综上所述，存在满足条件的直线，其方程为     ……………… 15分

【解析】略