Question

22．（本题满分15分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

Answer

解: （Ⅰ）设抛物线方程为,由题意得:

,, 所以抛物线C的方程为…4分

（Ⅱ） 解法一:抛物线焦点与的圆心重合即为E（0,1）,

设过抛物线焦点的直线方程为,,

,,得到,…………………………．2分

由抛物线的定义可知,,

．即为定值1………．．3分

（Ⅲ）,所以,

所以切线AM的方程为,切线BM的方程为,

解得即…………………………………………………………．2分

所以点M到直线AB的距离为．

设

…………………………………．．…………．2分

令,所以,,

所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）解法二:设过抛物线焦点的直线方程为,,不妨设．

,,得到,…………………………．2分

,,

,即为定值……………．．………．．3分

（Ⅲ）,所以,所以切线AM的方程为,

切线BM的方程为,解得即………．2分

所以点M到直线AB的距离为．

设

………………………………．2分

令,所以,,

所以在上是增函数,当,即时,,即与面积之和的最小值为2………………………………………………………………………………2分

【解析】略