Question

（本题满分15分）已知函数．

（Ⅰ）若为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当时,求函数的最大值；

（Ⅲ）当,且时，证明:．

Answer

解: （Ⅰ）,

∴---------2分

若f（x）在上是增函数,则,即在恒成立,

而,故m≥0;-----------------------------------------2分

若f（x）在上是减函数,则,即在恒成立,

而,故这样的m不存在．------------------------------1分

经检验,当m≥0时,对恒成立,

∴当m≥0时，f（x）在定义域上是单调增函数．---------------------1分

（Ⅱ）当m =－1时,,则----------1分

当时,,此时f（x）为增函数,

当时,,此时f（x）为减函数----------------------------2分

∴在x = 0时取得最大值,最大值为----------------------1分

（Ⅲ）当m = 1时,令,--1分

在[0,1]上总有,即在[0,1]上递增------------------------------1分

∴当时,,即----1分

令,由（Ⅱ）知它在[0,1]上递减,所以当时,,即-----------------1分

综上所述,当m = 1,且时,---------------1分

【解析】略