Question

（本题14分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2，PB=PE=，BC=DE=1，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A-PD-E平面角的余弦值.

Answer

（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a,∴PA2+AB2=PB2，

∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．

同理PA⊥AE．3分∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．      

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．

∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，

∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．

过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．

∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．            

   在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝a，

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．

∴二面角A-PD-E平面角的余弦值为   

【解析】略