Question

（本题满分共14分）如图，几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）解法一:取的中点，连结，由几何体为正四面体得，，所以平面，从而.

连结交于点,连结得平面,

，所以平面，从而.又

所以平面，从而.

解法二: 因为几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.

故可设

取的中点，连结，由题意知

故是二面角的平面角， 是二面角的平面角,

在中，，

所以，

在中，，

所以 

从而，从而四点共面，

故四边形为菱形，从而

（2）由解法二知四边形为菱形，于是，∥，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，由得：

进而得，所以与平面所成角的正弦值

解法三：如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。

不妨设|OB|=1，则B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，A(0,-1,0)

因为为正四面体，所以为正三角形，所以，所以，因此P(0,0,1)。

设的重心为M，则面PCB，又也为正三棱锥，因此面PCB，因此O、M、Q三点共线，所以OQ垂直面PCB，即是平面PCB的一个法向量，

由，易得平面PCB的一个法向量可以取，所以不妨设Q(a,a,a)，则，因为解得a=1，所以Q(1,1,1)。

（1），，，所以；

（2）设面PAD的一个法向量为，，，由

解得一个法向量，

所以，

所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。

【解析】略