Question

（本题满分15分）已知函数

（Ⅰ）若，求函数的极小值；

（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量

使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

Answer

【解析】
（I）由已知得，  …………………………………………2分

则当时，可得函数在上是减函数，

当时，可得函数在上是增函数，  …………………………5分

故函数的极小值为．．……………………………………………6分

（II）若存在，设，则对于某一实数方程在上有三个不等的实根，  …………………………………………………………………8分

设，

则有两个不同的零点．  ………………………10分

方法一：有两个不同的解，设，

则，

设，则，故在上单调递增，

则当时，即，…………………………………12分

又，则故在上是增函数， ……………………14分

则至多只有一个解，故不存在．………………………15分

方法二：关于方程的解，

当时，由方法一知，则此方程无解,当时，可以证明

是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在．

【解析】略